Berdasarkan Gambar di atas , kita peroleh beberapa hal atau informasi yaitu :
*). Pertama,
fungsi f memetakan x∈A ke y∈B. Jika fungsi f dinyatakan ke dalam bentuk pasangan berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut. f={(x,y)|x∈A dan y∈B}. Pasangan berurut (x,y) merupakan unsur dari fungsi f.
*). Kedua,
invers fungsi f atau f−1 memetakan y∈B ke x∈A. Jika invers fungsi f dinyatakan ke dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis f−1={(y,x)|y∈B dan x∈A}. Pasangan berurut (y,x) merupakan unsur dari invers fungsi f.
memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan f={(x,y)|x∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f−1) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan f−1={(y,x)|y∈B dan x∈A}.
Dapat ditulis: jika y=f(x), maka inversnya x=f−1(y)
akan mempunyai invers, yaitu f−1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, maka f−1 merupakan fungsi invers f jika berlaku (f−1∘f)(x)=x dan (f∘f−1)(x)=x. Perhatikanlah gambar di bawah ini.
Langkah-langkah menentukan fungsi invers:
1. Buatlah permisalan f(x)=y pada persamaan.
2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagai fungsi y atau x=f−1(y).
3. Ganti variabel y dengan x pada f−1(y) sehingga diperoleh f−1(x)=y sebagai fungsi invers dari y=f(x)
Contoh
1). Jika diketahui f(x)=2x+3, tentukan inversnya dan nilai f−1(1) !
Penyelesaian :
Misalkan f(x)=y dan rubahlah kedalam bentuk x=f−1(y)
f(x)2x+32xxberdasarkan xdiperoleh f−1(y)=y=y=y−3=y−32=f−1(y)=y−32
Gantilah variabel y dengan x, artinya f−1(x)=x−32
Jadi, invers dari fungsi f(x)=2x+3, adalah f−1(x)=x−32
*). Menentukan nilai f−1(1)
f−1(x)=x−32→f−1(1)=1−32=−22=−1
Jadi, diperoleh nilai f−1(1)=−1
2). Diketahui fungsi g(x)=3x−12x+5 , tentukanlah inversnya.!
Penyelesaian :
Misalkan g(x)=y dan rubahlah kedalam bentuk x=g−1(y)
g(x)yy(2x+5)2xy+5y2xy−3xx(2y−3)xberdasarkan xdiperoleh f−1(y)=3x−12x+5=3x−12x+5=3x−1=3x−1=−5y−1=−5y−1=−5y−12y−3=f−1(y)=−5y−12y−3
Gantilah variabel y dengan x, artinya f−1(x)=−5x−12x−3
Jadi, invers dari fungsi f(x)=3x−12x+5, adalah f−1(x)=−5x−12x−3
Cara II : f(x)=ax+bcx+d→f−1(x)=dx−b−cx+a
g(x)=3x−12x+5→g−1(x)=5x+1−2x+3
g−1(x)=5x+1−2x+3×−1−1=−5x−12x−3
Jadi, invers dari fungsi f(x)=3x−12x+5, adalah f−1(x)=−5x−12x−3
3). Diketahui f(x)=5x−3. Jika f−1(a)=2, maka nilai a+5=....
Penyelesaian :
Menentukan inversnya
f(x)y5xxf−1(x)f−1(a)=5x−3=5x−3=y+3=y+35=x+35=a+35
Menenukan nilai a
f−1(a)a+35a+3a=2=2=10=7
Sehingga nilai a+5=7+5=12
4). Diketahui fungsi f(x)=2x+1. Apakah fungsi g(x)=x−12 merupakan invers dari fungsi f(x)?
Penyelesaian :
*). Dua fungsi dikatakan salaing invers jika dikomposisikan menghasilkan fungsi identitas (I(x)=x).
*). Agar fungsi g(x) merupakan invers dari fungsi f(x) , maka harus terpenuhi (f∘g)(x)=x atau (g∘f)(x)=x. Cukup cek salah satu saja.
*). cek fungsi komposisinya :
(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x−12)=2(x−12)+1=(x−1)+1=x
Karena diperoleh (f∘g)(x)=x, maka terbukti bahwa fungsi g(x) adalah invers dari fungsi f(x)
1). (f−1(x))−1=f(x)
,
(fungsi invers di invers lagi, maka hasilnya kembali ke awal)
2). (f∘f−1)(x)=(f−1∘f)(x)=I(x)=x
(fungsi awal di invers dengan dirinya sendiri atau kebalikannya menghasilkan fungsi identitas yaitu I(x)=x
Penjelasan definisi invers :
Definisi : y=f(x)→f−1(y)=x, artinya ketika fungsinya (f) pindah ruas (dari kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan), maka fungsi tersebut diberikan invers. misalkan :
f(A)=B→A=f−1(B)
A=f−1(B)→(f−1)−1(A)=B→f(A)=B
Contoh
1). Diketahui fungsi f(x)=2x−1
a). Tentukan f−1(x)
b). Tentukan (f−1(x))−1
c). Tentukan (f∘f−1)(x)
d). Tentukan (f−1∘f)(x)
Penyelesaian :
a). Menentukan f−1(x)
f(x)y2xxf−1(y)=2x−1=2x−1=y+1=y+12=y+12
sehingga inversnya : f−1(x)=x+12
b). Menentukan invers dari f−1(x)=x+12
f−1(x)y2yxf−1(y)=x+12=x+12=x+1=2y−1=2y−1
invers dari f−1(x) adalah (f−1(x))−1=2x−1, yang sama dengan (f−1(x))−1=f(x), ini sesuai dengan sifat invers.
c). Menentukan (f∘f−1)(x)
(f∘f−1)(x)=f(f−1(x))=f(x+12)=2(x+12)−1=(x+1)−1=x
Diperoleh : (f∘f−1)(x)=x
d). Menentukan (f−1∘f)(x)
(f−1∘f)(x)=f−1(f(x))=f−1(2x−1)=(2x−1)+12=2x2=x
Diperoleh : (f−1∘f)(x)=x
Dari hasil c) dan d) terlihat bahwa (f∘f−1)(x)=(f−1∘f)(x)=x, yang sesuai dengan sifat invers.
2). Diketahui fungsi f(x−2)=3x+5. Jika f−1(a)=−1, maka tentukan nilai a2−4 !
Penyelesaian :
Cara I : Menentukan inversnya terlebih dahulu
Misalkan p=x−2→x=p+2, substitusi ke fungsinya
f(x−2)f(p)f(p)=3x+5=3(p+2)+5=3p+11
sehingga, f(x)=3x+11
*). Menentukan inversnya :
f(x)y3xx=3x+11=3x+11=y−11=y−113
sehingga inversnya : f−1(x)=x−113
*). Menentukan nilai a
f−1(x)f−1(a)a−113a−11a=x−113=−1=−1=−3=11−3=8
diperoleh nilai a=8,
sehingga nilai a2−4=82−4=64−4=60
Jadi, nilai a2−4=60
Cara II : Tanpa mencari inversnya.
*). Gunakan definisi invers : A=f(B)→f−1(A)=B
f(x−2)=3x+5→x−2=f−1(3x+5) atau f−1(3x+5)=x−2
*). Menyamakan bentuk yang diketahui dan yang ditanya.
f−1(3x+5)f−1(a)=x−2=−1
Ruas kanan sama dengan ruas kanan dan ruas kiri sama juga dengan ruas kiri
Diperoleh : x−2=−1 dan a=3x+5
x−2=−1→x=1
Substitusi nilai x=1 ke persamaan kedua
x=1→a=3x+5=3.1+5=8
sehingga nilai a2−4=82−4=64−4=60
Jadi, nilai a2−4=60
3). Diketahui fungsi invers f−1(3x−1)=x2−82−x. Jika f(a)=−3, maka tentukan nilai a+1 !
Penyelesaian : Tanpa mencari invernya,
Definisi : A=f(B)→f−1(A)=B
sehingga f(a)=−3→a=f−1(−3) atau f−1(−3)=a
Menyamakan bentuknya :
f−1(3x−1)f−1(−3)=x2−82−x=a
Diperoleh kesamaan : 3x−1=−3 dan a=x2−82−x
3x−1=−3→x−1=−1→x=0
Substitusi nilai x=0 ke persamaan kedua,
a=x2−82−x=02−82−0=−82=−4
diperoleh nilai a=−4
Sehingga nilai a+1=−4+1=−3
Jadi, nilai a+1=−3
Catatan : yang diubah menggunakan definisi invers boleh fungsi yang diketahui atau fungsi yang ditanyakan seperti soal nomor 2 dan nomor 3.
Dari gambar diagram di atas f:A→B,g:B→C
, dengan f dan g berkorespondensi satu-satu sedermikian sehingga h=g∘f, maka h−1=f−1∘g−1. Dalam hal ini (g∘f)−1=h−1 disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifat- sifat berikut ini.
(g∘f)−1(x)=(f−1∘g−1)(x) dan (f∘g)−1(x)=(g−1∘f−1)(x)
Contoh
1). Diketahui fungsi f(x)=3x+5 dan g(x)=x−1. Tentukanlah (g∘f)−1(x)
Penyelesaian :
*). Menentukan fungsi komposisinya
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(3x+5)=(3x+5)−1=3x+4
*). Menentukan inversnya
misalkan y=(g∘f)(x)
(g∘f)(x)y3xxf−1(y)=3x+4=3x+4=y−4=y−43=y−43
Jadi, inversnya (g∘f)−1(x)=x−43
2). Diketahui fungsi f−1(x)=2−x dan g−1(x)=xx−1. Tentukan (f∘g)−1(x) !
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan sifat invers fungsi komposisi
(f∘g)−1(x)=(g−1∘f−1)(x)=g−1(f−1(x))=g−1(2−x)=(2−x)(2−x)−1=2−x1−x
Jadi, diperoleh (f∘g)−1(x)=2−x1−x
) diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi awal (f(x)) terhadap garis y=x , begitu juga sebaliknya, untuk mencari grafik fungsi asalnya (f(x)) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi invers (f−1(x)) terhadap garis y=x
Contoh
Diketahui fungsi f(x)=2x−1, gambarlah grafik f(x) dan f−1(x) !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers fungsi
f(x)y2xx=2x−1=2x−1=y+1=y+12
matematika kelas X 