Aturan trigonometri dalam segitiga

Aturan Sinus dalam Segitiga

Pada segitiga di atas berlaku

loh, darimana asalnya aturan sinus tersebut? mari kita cari tahu pembuktiannya berikut
pembuktian aturan sinus paling mudah melalui pendekatan pembuktian dari rumus luas segitiga. Silahkan baca pembuktian rumus luas segitiga di bagian akhir postingan ini terlebih dahulu. Menurut aturan luas segitiga di dapat
L = ½ bc. sin α … ₍₁₎
L = ½ ac. sin β … ₍₂₎
L = ½ ab. sin γ … ₍₃₎

Persamaan (1) dan (2)
L = L
½ bc. sin α = ½ ac. sin β (coret yang sama)
b sin α = a sin β
b/sin β = a/sin α

Persamaan (1) dan (3)
L = L
½ bc. sin α = ½ ab. sin γ
c. sin α = a sin γ
c/sin γ = a/sin α
nah terbukti kan aturan sinus segitiganya.

contoh soal
Misalkan pada segitiga ABC, ∠ A =30^o, BC = 6 dan AC = 10, tentukan berapa besar ∠B

jawab :
BC/sin A = AC/ sin B
6/ sin 30^o = 10/ sin B
6/ 0,5 = 10 / sin B
12 = 10/sin B
sin B = 10/12 = 5/6
maka sudut B adalah 56,44^o

2. Atuan Cosinus dalam Segitiga

Pasa sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, C, panjang sisi a,b,c, dan sudut α, β, γ berlaku aturan cosinus

a² = b² + c² – 2bc cos α
b² = a² + c² – 2ac cos β
c² =  a² + b² – 2ab cos γ

Pembuktian aturan cosinus

Darimana dapatnya aturan cosinus di atas? Jawabannya adalah

c² = (a sin γ)² + (b-a cos γ)²
c² = a² sin² γ + b²– 2ab cos γ + a² cos² γ
c² = a² sin² γ + a² cos² γ + b²– 2ab cos γ
c² = a² (sin² γ + cos² γ) + b²– 2ab cos γ (ingat sobat sin² a + cos² a = 1)
c² = a²+ b²– 2ab cos γ… (terbukti)

contoh soal

perhatikan gambar di samaping. Titik P dan Q dinyatakan dengan korrdinat polar. Tentukan jarak antar titik Pdan Q.

Jawab:
Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.

Besar sudut POQ = 180^o – (75^o+45^o) = 60^o.
PQ² = OQ² + OP² – 2.OQ.OP cos ∠POQ
PQ² = 3² + 5² – 2.3.5 cos 60^o c
PQ² = 9 + 25 – 30. 0,5
PQ² = 9 + 25 -15
PQ² = 19
PQ = √19 = 4,36

3. Aturan Trigonometri Luas Segitiga

Selain aturan sinus dan cosinus dalam segitiga berlaku rumus luas segitiga menggunakan aturan trigonometri.
Jika sobat punya sebuah segitiga seperti gambar di bawah ini

maka berlaku aturan

Luas Segitiga ABC
= ½ bc. sin α
= ½ ac. sin β
= ½ ab. sin γ

Eh..eh.. dari mana dapetnya rumus tersebut? The proof is..
pembuktian rumus ini sangat mudah jika sobat punya sebuah segitiga sembarang seperti ini

perhatikan segitiga di atas, rumus luas segitiga adalah ½ x alas x tinggi. Kita ganti nilai tinggi dengan c sin α atau a sin γ maka didapat
L = ½ b. c. sin α atau
L = ½ b. a. sin γ
Gampang kan sebenarnya. Hehehe

contoh soal
Jika sobat rumushitung  berikan selembar karton warna ungu dengan bentuk segitiga  seperti gambar berikut

coba sobat tentukan luas  segitiga tersebut
Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30^o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

Ayo sobat hitung, buat melatih pemahaman kita tentang aturan trigonometri (aturan sinus, aturan cosinus, dan aturan luas) segitiga boleh dicoba latihan soal berikut:

1. Perhatikan gambar segitiga di bawah ini lalu tentukan perbandingan antara PQ dan PR

a. 4 : 3                    b. 3 : 4
c. √3 : √2               d. √2 : √3

2. Luas dari segitiga di bawah ini adalah?

a. 12 cm²               b. 12√3 cm²
c. 12 √2 cm²          d. 14 cm²

3. Pada gambar di samping tentukan nilai dari x

a. 2√3                    b. 2√10
c. 2√7                    d. 2√5